2017-10-19

サーガラ第五回定期演奏会:プログラムノート先行公開

こんばんは

サーガラのホルンです

寒いですね

まさかこんなに寒くなるとは、、、

みなさんお体をお大事になさってください

さてサーガラの演奏会が明後日10/21(土)に迫りました

代官山でやります！

ドキドキ、、、、

プログラムノートを先行公開いたします

当日お会いできたら大変嬉しいです！

f:id:saagara-windquintet:20171019180801j:plain

f:id:saagara-windquintet:20171019180813j:plain

f:id:saagara-windquintet:20171019180826j:plain

f:id:saagara-windquintet:20171019180838j:plain

f:id:saagara-windquintet:20171019180850j:plain

f:id:saagara-windquintet:20171019180903j:plain

f:id:saagara-windquintet:20171019180914j:plain

演奏会情報はこちらです

f:id:saagara-windquintet:20171004062822j:plain

f:id:saagara-windquintet:20171003132213j:plain

2017-10-10

なぜなぜ管楽器（その４）：数学的準備（偏微分のおさらい）

お役立ち情報なぜなぜ管楽器

サーガラのホルンです

今回は前回に引き続き微分について書きたいと思います
前回の記事はこちら↓
saagarawq.hatenablog.com

今回書く記事を乗り越えると数学的準備のほとんどが済みます

さて、私たちが住んでいる世界で何かを調べるときには

「いつ」

「どこで」

「なにが」

「どのように」

ということを念頭に置くと思います。
今調べたい音波に置き換えると

「いつ」→　時刻 $t$ に

「どこで」→　位置 $(x,y,z)$ で

「なにが」→　波動関数 $u(t,x,y,z)$ が

「どのように」→　どのように

という対応になると思います。
最後のどのようには対応がそのままですが、
波動方程式を解いた結果で考察するとわかるはずです。

ここでムムム！どうしたら良いのか！と思うことがあります。
前回の記事では１変数の微分について行いましたが、上記の対応を見てわかる通り
今考えたい波動関数 $u(t,x,y,z)$ は変数が４つもあります。
このときどのように考えれば良いのか、
またどう扱えばいいのか、

今回は多変数の微分について紹介したいと思います。

いきなり答えを書いてしまうと

偏微分

を使います。

偏微分というのはある１つの変数以外定数と思って微分を行うことです。

例えば関数 $f(x,y)=xy+x^2+y^3$ の時

$\frac{\partial f}{\partial x}=y+2x$
$\frac{\partial f}{\partial y}=x+3y^2$

となります。
偏微分では偏微分であることを示すため
$d$ の代わりに $\partial$ という記号を用います。
上段の式は $y$ を定数だと思って $x$ で微分を、
下段の式は $x$ を定数だと思って $y$ で微分しています。
前回の記事の１変数の微分をマスターしていれば特に問題ない演算かと思います。

全微分との関係

偏微分はある１変数のみに関する変化率であったのに対して
全ての変数が動くときの変化率を全微分と言います。
#本当はもう少し細かい話が色々とあるのですが、ここでは
#全微分をこのように言っておきます。

では、２変数関数 $f(x,y)$ に関して全微分を計算して見ましょう。
まずは $f(x+\Delta x,y+\Delta y)$ と $f(x,y)$ の差 $\Delta f$ を計算します。

$\Delta f=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\\ =f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)+f(x,y+\Delta y)-f(x,y)\\ =(f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y))\frac{\Delta x}{\Delta x}+(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))\frac{\Delta y}{\Delta y}\\ =\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)}{\Delta x}\Delta x+\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}\Delta y$

ここで式をよく眺めてみると、
前半は変数 $y$ が $y+\Delta y$ に固定されて $x$ の変化率（微分）を求める式に（ $x$ の偏微分）
後半は $x$ が固定されて $y$ についての変化率（微分）を求める式になっています。（ $y$ の偏微分）
ということは全微分と偏微分の関係は以下のようになります。
$df=\lim_{\Delta x,\Delta y\to0}\Delta f(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy$
ここで
$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$
$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$