サーガラ木管五重奏団

サーガラ木管五重奏団の紹介や演奏会情報、その他楽団等で使えるお役立ち情報など、様々な情報を提供しています。木管五重奏はフルート、オーボエ、クラリネット、ファゴット、ホルンから構成され、どれも全く異なる音色のハーモニーが特徴です。是非演奏会にお越しください!

なぜなぜ管楽器(その7):1次元波動方程式の導出 後編

こんにちは!

 

サーガラのホルンです。

 

今回はいよいよ波動方程式の導出です!

前回のおさらいですが、前回はポアソンの法則から

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という式を導きました。

 

変数xは管内の位置、tは時刻を表します。

また、pは音圧、γは気体の比熱比、P0は大気圧、uは気体分子の変位(元ある位置からのずれ)を表します。

 

これを無理やり日本語にすると「ある地点での音圧pは、ある地点とちょっと先の地点での空気分子の位置のずれuの差に比例する」ということになります。

ものすっっっごく分かりずらいですが、まあそういうことです。

導出については前回の記事をご覧ください。

 

saagarawq.hatenablog.com

 

さて本題です。

 

今までは熱力学の観点から攻めてきましたが、

ここからは力学(古典力学)の観点から攻めてみましょう。

 

古典力学といえばみなさんおなじみのニュートン運動方程式です。

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高校物理学でもやりますね。

 

この運動方程式アイザック・ニュートンの著書プリンキピアに載っている

運動の法則の2番目に書かれているものです。

 

運動の法則:第二法則

物体に力が働くとその力の方向に加速度が生じる。その加速度の大きさは力に比例し、物体の質量に反比例する。

 

なのでちゃんと考えると上式はまずく、まずベクトルで考えなければなりません。また、第二法則の内容をそのまま式で表すと

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となります。

 

今考えているのは一次元で1方向しかないので、それを実数の正負で表すため、

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で問題ないのです。多次元を扱う場合はしっかりとベクトルで扱う必要があります。

 

話が逸れてしまいましたが、ニュートン運動方程式を今のモデルに当てはめてみたいと思います。前記事でのモデルを図に表すと下図のようになります。

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 断面積S厚さΔxの空気柱の塊を考えます。

 

するとこの空気の密度をρとして、質量は

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と表すことができます。一方で加速度は空気中分子の加速度なので、

変位uを時刻で2回微分したものが加速度となります。

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力は断面積x音圧なので以下のようになります。いつもの通り微分を使って近似します。

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材料が揃いました。

 

これをma=Fに代入すると以下の式になります。

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両辺SΔxで割れるので割ると

 

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という式が得られます。

 

ここで、前回ポアソンの法則から得た式

 

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をxで変微分して上式に代入すると

 

 

 

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となります。

 

書き直すと

 

 

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となります。

ここで、便宜的に右辺の係数をcの2乗と書くことにします。

すると運動方程式は以下のようになります。

 

 

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これが求めたかった方程式の気柱の波動方程式です。

 

 

お疲れ様でした。

 

 

やっと空気中を伝播する音波の基礎方程式を導くことができました。

 

スタート地点に立ちました。

 

次回からはこの方程式の解き方について触れたいと思います。 

 

 

 

なぜなぜ管楽器(その6):1次元波動方程式の導出 前編

こんばんは、

 

サーガラ のホルンです。

 

なんだかんだで

 

演奏会後は

 

更新頻度が落ちてしまいます。

 

すみません。

 

気を取り直して

今回はいよいよ波動方程式の導出です!

波動方程式というとなんだかとても難しく感じてしまいますが、

一言で表すと、

波の伝わり方を表した方程式

です。

 

この波動方程式は今回求めるものと実際の形は

異なるかもしれませんが、

周りにあふれています。

 

怖い地震

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見えている光

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聞こえてくる音

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生活には欠かせない電線を伝わる電流

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これらも波動方程式に従って空間を伝わっています。

 

なんだかとっても身近ですね

 

波動方程式

 

今回はまっすぐな管の中の波動方程式を求めます。

 

以前の記事

 

saagarawq.hatenablog.com

 にて音波の性質を紹介しています。その中で

音波は疎密波と呼ばれる波で、空気中では空気中分子が

集まったり離れたりを繰り返して音波を伝えます。

イメージとしては下記youtubeの解説がわかりやすいと思います。

下のyoutubeの縦波が私の言いたい疎密波に相当します。


スリンキーを使った横波と縦波【スマホで物理】

 

 

まさにこの疎密波のイメージで

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波動方程式を導出していくことにしましょう。

 

さて、前置きが長くなりましたが、

 

ここからいよいよ本題です。

 

まずは気体の性質について考えましょう。

音波振動による気体の振動は十分に速く熱のやり取りはないものとして考えます。

するとポアソンの法則が成立します。

 

 

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いきなり数式が出てきましたが、これは断熱条件下での気体の圧力と体積の関係を表したものです。Pは圧力、Vは体積を表します。

Vの右上についているものは定数でギリシャ文字のガンマです。

物理的には比熱比と呼ばれる量になっています。

ここも深く入ると面白いのですが今回は我慢、、、、

ガンマは気体の性質を表したただの数字だと思ってください。

右辺のconst.というのは一定という意味です。

 

ということは気体の体積を小さくすると圧力が大きくなり、

気体の体積を大きくすると圧力が下がるとこの法則は言っています。

その変化の仕方を数式にしたものだと考えてください。

 

さて、ここで音が無い時とある時の比較を行いたいと思います。

音がない時は気体中の粒子も振動していません。

この音がない状態である微小空間を取り出して考えます。

具体的には下図のVで示した領域です。

今はまっすぐな管を考えており、その断面積をSとします。

厚さをΔxとしてV=SΔxが微小領域です。

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音が無い状態から音がある状態に変化させた時、空気中分子は振動します。

この時、元の微小空間にあった分子で構成される変化した微小空間との比較を行います。

ここでもポアソンの法則は成り立っているので、以下の式が成立します。

 

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いきなり難しくなってきましたが、めげずに行きましょう。

P0は大気圧、pは音によって変化した圧力で音圧と呼ばれます。

δVはデルタVと読み、元の微小空間からの体積変化を表します。

 

体積、圧力が変化してもそれらの圧力と体積のガンマ乗の積は一定の値をとるので、上式が成立します。

 

ここで、左辺を展開してみましょう。

 

以前の記事の微分の知識を応用すると

saagarawq.hatenablog.com

音による体積変化量はとても小さいので

 

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という式が成り立ちます。

真ん中のニョロん(〜)というのは近似しますよという意味で

だいたい同じです!ということを言っています。

 

上式を使って左辺を計算すると

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となります。ここで音圧とデルタVの積はとても小さい量なので無視しています。

もうちょっと難しい言い方をすると、近似では微小量の2次以上の項を無視しています。

従って、元の式から

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のように変形されました。

さらに式変形を進めると

 

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このような関係式が得られます。

音圧と音による体積変化がだいたい比例の関係にあることがわかりました。

だいたいというのは先ほど近似を行っているためです。

この結果を信じて先に進むことにしましょう。

 

(余談)===============================================

物理学では数式をそのまま解こうとしても解けない問題がほとんどです。

そこで先人たちは偉大な手法を考え出しました。

それが近似という手法です。

これはもはや物理学の常套手段でより現実に近ければ近いことを解明しようとするほど良く用いる手法です。

そして、近似という手法は驚くべき成功を数々挙げてきました。

もはや近似なくして語ることができないことは山ほどあります。

身近な例では地上で働く重力が

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と表されることも万有引力の法則

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からゴニョゴニョ地球の形で積分したり積分したり積分したりすると求めることができます。

===============================================

 

 

 

次に

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のδVについて考えてみましょう。

ここで変位というものを導入します。

ある位置の空気中粒子は音によって振動します。

その振動でのズレ具合を表したものです。

例えば下図位置xでの音による粒子のズレ、すなわち変位は

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で表されます。

 

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本当は時刻の関数でもあるので時刻をtとして

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と書くべきですが、今は時刻については考慮しないので、無視します。

あとでちゃんと書き下す時に復活させます。

 

さて、上図にて音ありの場合の変化した微小領域V+δVを計算します。

右方向を正に取ります。

位置xの変位がu(x)なので当然位置x+Δxでの変位はu(x+Δx)となります。

これらの情報からV+δVは

 

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ここで

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を用いました。詳しくは過去記事をご覧ください。

 

saagarawq.hatenablog.com

 

 

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という関係が求まります。

 

先ほど求めた

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に代入すれば

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が求まります。ここで、実際は音圧も変位も時刻に依存するので、

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微分の記号が変わりましたが、これは偏微分といい、今の場合時刻tを定数と思ってxについてだけ微分しなさいという意味です。

詳しくは過去記事を参照ください。

 

saagarawq.hatenablog.com

 過去記事もそんなに詳しくないけど、、、、

 

ふう、、、

 

読んでいただいている方も

頭パンクしそうになると思うので

とりあえず今回はここまでにしましょうか

 

次回はいよいよ1次元波動方程式を導きます。

種明かしをすると

ニュートン運動方程式を求め、それに今日求めた

圧力と変位の関係式を代入することで求めることができます。

 

出発は

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この図になります。

 

やっとここまできたー

 

長かった、、、、

 

おやすみなさい

 

 

第6回定期演奏会終了しました!

サーガラのホルンです。

 

こんばんは

 

無事演奏会を終えることができました。

皆様には感謝申し上げます。

 

今回は

魔笛

ライヒャの木管五重奏曲 Op.91-5

ベートーベンの弦楽四重奏曲 Op.18-4

とかなり強敵ぞろいでしたが、

大きな事故もなく無事演奏をすることができました。

 

演奏自体にはまだまだ改善の余地があると思いますが、

ひとまずできたことにホッと一息ついています。

 

今回は演奏の他に

ほうじ茶とコーヒーのドリンクサービスと

休憩中の管楽器に関するレクチャー

(なぜ管楽器には出せない音調があるのかについて)

を行いました。

大変好評で、こうした演奏以外でのUX向上にも

努めていきたいと思っております。

 

春分の日に雪というとんでもない状況の中

お越しくださいました皆様

また、ご支援くださいました皆様

本当にありがとうございました。

皆様あってのサーガラ木管五重奏団の活動です。

 

今後も団員一同演奏及び演奏会の質向上に

邁進してまいります。

今後ともよろしくお願いいたします。

 

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練習日記(2018/3/17, 18)

こんにちは
 
サーガラ代表のSです。
 
先日も土曜、日曜と2日連続で練習を行いました。土曜日はこれまでの練習を反省して細かい展開や表情を確認しました。そして日曜には代官山教会でGP(ゲネラルプローベ、本番の環境を想定した練習)と最終確認を行いました。ここでちょっと本番の雰囲気を写真でご覧ください。

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このように、とても素敵な空間です。天井が高くほどよい広さで、木管五重奏に最適な会場なのです。この素晴らしい場所で演奏できることに感謝です。
 
今までの練習を振り返りながら、定期演奏会のプログラムの魅力を紹介します。
 
モーツァルトの『魔笛』は彼独特の朗らかさと、晩年の深い思考を持ち合わせた名曲です。対位法的な重なりが面白く、刻々と表情が変わっていきます。従いまして、その多彩な表情をどのように描いていくかというのが課題になりました。私たちはデュナーミクを多彩に設定し、それによって語彙を増やしていきました。管弦楽作品はオーケストレーションによって色彩感が強調されているのですが、それを木管五重奏でやる場合、意図的に作り込んでいかないと単調になってしまいます。如何に色鮮やかな演奏にするのか、そこに工夫を凝らしました。
 
ライヒャ op. 91-5 は今回では唯一のオリジナル曲です。初回練習の時は第3,4楽章が冗長で絶望感に打ちひしがれていたのですが、色々な仕掛けをつくって立体感を出せるように努力しました。今になるととてもいい曲だと思えるようになってきました。一方で第2楽章には非常に美しい和声進行が出てきたり、ところどころに宝石が散りばめられています。そのような曲の魅力を最大限に引き出し、さらに淡泊なところにはスパイスを効かせるという、まさに手の込んだ一品です。
 
ベートヴェン op. 18-4 は初期作品でありながら後期のそれをも髣髴とさせるような重厚な作品です。『魔笛』の約10年後、またライヒャの約15年前の作品でありながら、一つ前に抜け出た独創性と精神性に満ちています。曲の内容がとても濃いので、それを解釈して引き出すというのが主な作業になりました。どうやってカデンツを作るか、楽想の受け渡しをどのように作るのか、テンポ変化をどう演出するかなど、課題が沢山ありました。自分の手による分析や過去の名演、とりわけ戦前の巨匠たちによる演奏の理論的な分析、そして音楽監督濱本先生のご指導によって、ベートーヴェンからの問に自分なりの答えを見出してきました。楽譜に対して真摯に、しかし積極的に向き合えるように注意しました。この名曲に秘められたエネルギーを少しでも多く導き出せるように本番でも演奏して参りたいと思います。
 
ウィーン楽派の天才たちによる珠玉の3曲を、木管五重奏というスタイルでお楽しみいただければ幸いです。
なお、演奏会は19時前に終了する予定ですので、閉演後に夜の代官山をお楽しみいただけるかと思います。代官山には良いカフェやレストランが沢山あるのできっと素晴らしいティータイム、ディナーを味わえることでしょう。意外と渋谷からの徒歩のアクセスも良好なので、お昼を代官山で過ごしてサーガラの演奏会で一休みしてから渋谷方面まで散策することもできます。是非よき一日をお過ごしいただきたく思います。団員一同、ご来場をお待ちしております。
 

サーガラ木管五重奏団第6回定期演奏会
2018年3月21日(水祝)
16時半開場 17時開演
代官山教会

ベートーヴェン/ 弦楽四重奏曲 ハ短調 op. 18-4
ライヒャ/ 木管五重奏曲 イ長調 op. 91-5
モーツァルト/ 歌劇『魔笛』K. 620 序曲

入場無料・全席自由

温かいコーヒー・お茶もご用意させていただく予定です!

管楽器の仕組みに関する解説講座も準備中です!

 

ゲネプロおわりました! 2018/03/18 余談:自由が丘&代官山散策

こんばんは

 

サーガラのホルンです

 

もうすぐ本番ということで

会場を使わせていただいて

ゲネプロを行いました

 

今回の演奏会に向けては

通し練習を入念に行って来ましたが

やはり会場での緊張感を伴う通しには

まだまだ慣れないことが多いです

 

本番前にこのような練習を行えたことが

本番で成果として現れるといいなあ

 

会場写真を下に掲載しました。

とても綺麗な会場です。

こんな会場を使わせていただけるなんて感謝感激です。

 

演奏会がもっと気軽にホッとできる場所になったらいいなーなんて

考えておりまして、今回は休み時間に温かいお茶やコーヒーなどの提供を

させていただく予定です!

 

アットホームな演奏会にしたいと思っています。

 

また、興味がある方向けに休憩時間中に管楽器の仕組みについての

簡単な講座も準備しております。

 

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この写真はリハ終わりの様子です。

 

なんだろう誰もいないのにこの疲れている感じは(笑)

 

今回もとにかく重たいプログラムです。

 

短いけれどもオケ曲の魔笛

長大なライヒャの木五

がっしりとしたベートーベンの弦楽四重奏

 

まさか木五で弦楽四重奏をなんて

やるとなった時は不安でいっぱいでしたが、

やってみると本当によくできている曲でした。

もはや元々木五の曲だったんじゃないかと思えるような作品です。

なかなかない機会ですので是非お越しください。

 

 

今日は別の楽団の演奏会にサーガラのチラシの挟み込みに

行かせていただいたのですが、予定より

かなり早く終わってしまって

久々に自由が丘を散歩しました。

 

たまに行くと新たな発見の多いまちで

全然飽きませんね

 

昔から植木というか園芸が趣味なのですが、

実家から離れてからはしばらくやっていませんでした。

数ヶ月前に観葉植物の購入をきっかけに火がついてしまい、

観葉植物巡りがマイブームです。

 

こんなところに来たら興奮せずにはいられないです(笑)

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こちらはエジソン電球

柔らかい明かりがとても良いです

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作家さんのコーヒーカップ

欲しくてたまらなかったのですが、、

我慢我慢、、、、、

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これでコーヒー飲んだら美味しいだろうなあ

 

それからも一通り自由が丘を散策し、お昼を食べたのですが、

それでも練習(ゲネプロ)まで時間が余ってしまい、

今度は代官山に移って散策しました

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最近の代官山お気に入りスポットです

駅からすぐそばなのですが、

面白い雑貨屋さんがあり、ついつい寄ってしまいます

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今日は昨日より暖かく、外で日向ぼっこしていました

ぼーっと

 

気がつけば練習開始時間間近に、、、

 

会場の前の桜の木の花芽が開き始めていました

運が良ければ演奏会の日に満開かもしれないですね!

今年の桜の開花はかなり早かったですねー

 

花がとても綺麗な季節になって来ました

人生の節目の年ではなくても

春はなんとなくそわそわしてしまいますね

 

 

話がまとまらなくなって来てしまいました

 

とにかく!!

 

演奏会是非お越しください!

団員一同心よりお待ちしております!

 

サーガラ木管五重奏団第6回定期演奏会
2018年3月21日(水祝)
16時半開場 17時開演
代官山教会

ベートーヴェン/ 弦楽四重奏曲 ハ短調 op. 18-4
ライヒャ/ 木管五重奏曲 イ長調 op. 91-5
モーツァルト/ 歌劇『魔笛』K. 620 序曲

入場無料・全席自由

温かいコーヒー・お茶もご用意させていただく予定です!

管楽器の仕組みに関する解説講座も準備中です!

 

是非よろしくお願いいたします!